그로텐디크-리만-로흐 정리

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 상세 설명
3. 공식
4. 역사
5. 일반화 및 확장
6. 예시
7. 응용
- 7.1. 모듈라이 공간의 준사영성
참조

1. 개요

그로텐디크-리만-로흐 정리는 체 위의 매끄러운 준사영 스킴 사이의 고유 사상과 관련된 정리로, K이론과 저우 환 사이의 관계를 설명한다. 이 정리는 푸시포워드 사상과 천 특성 사이의 교환 법칙을 제공하며, 대수적 K-이론의 발전에 기여했다. 특히, 곡선 위의 벡터 다발, 매끄러운 사상, 닫힌 매입 등 다양한 경우에 적용 가능하며, 대수 곡선의 모듈라이 공간과 같은 모듈라이 공간의 준사영성을 증명하는 데 사용된다.

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그로텐디크-리만-로흐 정리
요약
분야	대수기하학
증명	알렉산더 그로텐디크 (1957년)
관련 정리	아티야-싱어 지표 정리 히르체브루흐-리만-로흐 정리 곡면의 리만-로흐 정리 리만-로흐 정리

2. 정의

체 $K$ 위의 두 준사영(quasiprojective) 매끄러운 스킴 $X\to\operatorname{Spec}K$ , $Y\to\operatorname{Spec}K$ 와 $K$ -스킴의 고유 사상 $f\colon X\to Y$ 가 주어졌다고 하자.

이러한 데이터와 구조들을 바탕으로, 그로텐디크-리만-로흐 정리는 다음과 같은 가환 그림으로 표현된다.

: $\begin{matrix}\operatorname K_0(X)&\xrightarrow{\operatorname{ch}}&\operatorname A(X)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q&\xrightarrow{.\operatorname{Td}(X)}&\operatorname A(X)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q\\{\scriptstyle f_!}\downarrow&&\downarrow{\scriptstyle f_*}&&\downarrow{\scriptstyle f_*}\\\operatorname K_0(Y)&\xrightarrow[\operatorname{ch}]{}&\operatorname A(Y)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q&\xrightarrow[.\operatorname{Td}(Y)]{}&\operatorname A(Y)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q\end{matrix}$

여기서 왼쪽 정사각형은 일반적으로 가환하지 않지만, 큰 직사각형 전체는 가환 그림을 이룬다. 이 관계를 식으로 나타내면 다음과 같다.

: $\operatorname{ch}(f_!(-)).\operatorname{Td}(Y)=f_*(\operatorname{ch}(-).\operatorname{Td}(X))$

이 식에서 사용된 기호와 구조에 대한 간략한 설명은 '상세 설명' 섹션에 자세히 나와 있다.

$X$ 가 체 위에서 정의된 매끄러운 준사영 스킴일 때, 그로텐디크-리만-로흐 정리는 다음과 같이 표현될 수 있다.

: $\mathrm{ch} (f_{!}{\mathcal F}^\bull) \mathrm{td}(Y) = f_* (\mathrm{ch}({\mathcal F}^\bull) \mathrm{td}(X) ).$

여기서 $\mathrm{td}(X)$ 는 $X$ 의 접다발의 토드 종수이다. 이 정리는 푸시포워드를 취하는 것과 체른 특성 사이의 교환 법칙이 성립하지 않는 정도를 정확하게 나타내며, 보정 인자가 $X$ 와 $Y$ 에만 의존한다는 것을 보여준다.

토드 종수의 성질을 이용하여, 위 식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

: $\mathrm{ch}(f_{!}{\mathcal F}^\bull) = f_* (\mathrm{ch}({\mathcal F}^\bull) \mathrm{td}(T_f) ),$

여기서 $T_f$ 는 $f$ 의 상대 접층이다. $f$ 가 매끄러운 사상인 경우, $T_f$ 는 $f$ 의 올을 따라가는 접다발을 나타내는 벡터 번들이다.

2. 1. 상세 설명

체

K

위의 준사영(quasiprojective) 매끄러운 스킴

X\to\operatorname{Spec}K

및

Y\to\operatorname{Spec}K

와

K

-스킴의 고유 사상

f\colon X\to Y

가 주어졌다고 하자.

이 위에 다음과 같은 구조들을 정의할 수 있다.

$X$ 또는 $Y$ 위의 저우 환 $\operatorname A(X)$ , $\operatorname A(Y)$ 및 유리수 계수를 취한 $\operatorname A(X)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q$
저우 환 사이의 밂 사상 $f_*\colon\operatorname A(X)\to\operatorname A(Y)$ . 이는 귀진 사상의 일종이며, 올에 대한 적분에 해당한다. 유리수 계수의 경우에도 마찬가지로 귀진 사상 $f_*\colon\operatorname A(X)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q\to\operatorname A(Y)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q$ 가 존재한다.
토드 특성류 $\operatorname{Td}(X)\in\operatorname A(X)\otimes\mathbb Q$ , $\operatorname{Td}(Y)\in\operatorname A(Y)\otimes\mathbb Q$ . 이는 $X$ 의 접다발의 천 특성류 $\operatorname c(X)\in\operatorname A(X)$ 의 성분들의 유리수 계수 선형 결합이다.
천 지표 $\operatorname{ch}\colon\operatorname K_0(X) \to\operatorname A(X)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q$ . (천 특성류는 정수 계수 저우 환에 정의되지만, 천 지표를 정의하려면 유리수가 필요하다.)
$X$ 또는 $Y$ 위의 연접층들의 범주 $\operatorname{Coh}(X)$ , $\operatorname{Coh}(Y)$
$X$ 위의 연접층의 $f$ 에 대한 상 $f_*\colon\operatorname{Coh}(X)\to\operatorname{Coh}(Y)$ . 이는 왼쪽 완전 함자이다.
$X$ 위의 연접층의 $f$ 에 대한 상 $f_*\colon\operatorname{Coh}(X)\to\operatorname{Coh}(Y)$ 의 오른쪽 유도 함자 $\operatorname R^\bullet f_*\colon\operatorname{Coh}(X)\to\operatorname{Coh}(Y)$ .
$X$ 위의 연접층들의 그로텐디크 군 $\operatorname K_0(X)$ . 이는 K이론에서 0차 K군이다.
그로텐디크 군에서도 연접층의 상(의 유도 함자)를 정의할 수 있다. 즉, $\operatorname R^\bullet f_*\colon\operatorname K_0(X)\to\operatorname K_0(Y)$ .
그로텐디크 군에서는 부호를 붙인 직합 $f_!=\bigoplus_{i=0}^\infty(-1)^i\operatorname R^if_i\colon\operatorname K_0(X)\to\operatorname K_0(Y)$ 를 정의할 수 있다.

정리하면, 다음과 같은 사상이 존재한다.

:

\begin{matrix}\operatorname K_0(X)&\xrightarrow{\operatorname{ch}}&\operatorname A(X)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q&\xrightarrow{.\operatorname{Td}(X)}&\operatorname A(X)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q\\{\scriptstyle f_!}\downarrow&&\downarrow{\scriptstyle f_*}&&\downarrow{\scriptstyle f_*}\\\operatorname K_0(Y)&\xrightarrow[\operatorname{ch}]{}&\operatorname A(Y)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q&\xrightarrow[.\operatorname{Td}(Y)]{}&\operatorname A(Y)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q\end{matrix}

일반적으로 왼쪽 정사각형은 가환하지 않지만, 큰 직사각형 전체는 가환 그림을 이룬다. 이를 '''그로텐디크-리만-로흐 정리'''라고 한다. 이를 기호로 쓰면 다음과 같다.

:

\operatorname{ch}(f_!(-)).\operatorname{Td}(Y)=f_*(\operatorname{ch}(-).\operatorname{Td}(X))

X

가 체 위에서 정의된 매끄러운 준사영 스킴이라면, 코히어런트 층의 유계 복합체에 대한 그로텐디크 군

K_0(X)

은 유한 계수 벡터 번들의 유계 복합체의 그로텐디크 군과 자연스럽게 동형이다. 이 동형을 사용하여, 체른 특성(체른 클래스의 유리수 조합)을 다음과 같은 함자적 변환으로 간주한다.

:

\mathrm{ch} \colon K_0(X) \to A(X, \Q),

여기서

A_d(X,\Q)

는 차원

d

인

X

에 대한 사이클의 차우 군을 유리 동치에 대해 모듈로 하고, 텐서 곱을 유리수와 취한 것이다.

X

가 복소수 위에서 정의된 경우, 후자의 군은 위상적 코호몰로지 군으로 매핑된다.

:

H^{2\dim(X) - 2d}(X, \Q).

매끄러운 준사영 스킴 사이의 고유 사상

f \colon X \to Y

와

X

위의 층의 유계 복합체

{\mathcal F^\bull}

을 고려하면, '''그로텐디크-리만-로흐 정리'''는 푸시포워드 사상

:

f_{!} = \sum (-1)^i R^i f_* \colon K_0(X) \to K_0(Y)

(고차 직상의 교대 합)과 푸시포워드

:

f_* \colon A(X) \to A(Y),

를 다음 공식으로 관련시킨다.

:

\mathrm{ch} (f_{!}{\mathcal F}^\bull) \mathrm{td}(Y) = f_* (\mathrm{ch}({\mathcal F}^\bull) \mathrm{td}(X) ).

여기서

\mathrm{td}(X)

는 (

X

의 접다발)의 토드 종수이다. 따라서 이 정리는 푸시포워드를 취하는 것과 체른 특성 사이의 교환 법칙 미성립에 대한 정확한 척도를 제공하며, 필요한 보정 인자가

X

와

Y

에만 의존한다는 것을 보여준다. 토드 종수는 함자적이고 완전열에 대해 곱셈적이므로, 그로텐디크-리만-로흐 공식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

\mathrm{ch}(f_{!}{\mathcal F}^\bull) = f_* (\mathrm{ch}({\mathcal F}^\bull) \mathrm{td}(T_f) ),

여기서

T_f

는

f

의 상대 접층으로,

K_0(X)

에서

TX - f^*(TY)

로 정의된다.

f

가 매끄러운 사상인 경우,

T_f

는 단순히 벡터 번들이며,

f

의 올을 따라가는 접다발이라고 알려져 있다.

3. 공식

체 $K$ 위의 준사영(quasiprojective) 매끄러운 스킴 $X\to\operatorname{Spec}K$ 및 $Y\to\operatorname{Spec}K$ 와 $K$ -스킴의 고유 사상 $f\colon X\to Y$ 가 주어졌다고 하자.

이 위에 다음과 같은 구조들을 정의한다.

$X$ 또는 $Y$ 위의 저우 환 $\operatorname A(X)$ , $\operatorname A(Y)$ 및 유리수 계수를 취한 저우 환 $\operatorname A(X)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q$
저우 환 사이의 밂 사상 $f_*\colon\operatorname A(X)\to\operatorname A(Y)$ (이는 귀진 사상의 일종이며, 올에 대한 적분에 해당한다.) 및 유리수 계수의 경우의 귀진 사상 $f_*\colon\operatorname A(X)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q\to\operatorname A(Y)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q$
토드 특성류 $\operatorname{Td}(X)\in\operatorname A(X)\otimes\mathbb Q$ , $\operatorname{Td}(Y)\in\operatorname A(Y)\otimes\mathbb Q$ (이는 $X$ 의 접다발의 천 특성류 $\operatorname c(X)\in\operatorname A(X)$ 의 성분들의 유리수 계수 선형 결합이다.)
천 지표 $\operatorname{ch}\colon\operatorname K_0(X) \to\operatorname A(X)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q$ (천 특성류는 정수 계수 저우 환에 정의되지만, 천 지표를 정의하려면 유리수가 필요하다.)
$X$ 또는 $Y$ 위의 연접층들의 범주 $\operatorname{Coh}(X)$ , $\operatorname{Coh}(Y)$
$X$ 위의 연접층의 $f$ 에 대한 상 $f_*\colon\operatorname{Coh}(X)\to\operatorname{Coh}(Y)$ (이는 왼쪽 완전 함자이다.)
$X$ 위의 연접층의 $f$ 에 대한 상 $f_*\colon\operatorname{Coh}(X)\to\operatorname{Coh}(Y)$ 의 오른쪽 유도 함자 $\operatorname R^\bullet f_*\colon\operatorname{Coh}(X)\to\operatorname{Coh}(Y)$
$X$ 위의 연접층들의 그로텐디크 군 $\operatorname K_0(X)$ (이는 K이론에서 0차 K군이다.)
그로텐디크 군에서의 연접층의 상(의 유도 함자) $\operatorname R^\bullet f_*\colon\operatorname K_0(X)\to\operatorname K_0(Y)$
그로텐디크 군에서의 부호를 붙인 직합 $f_!=\bigoplus_{i=0}^\infty(-1)^i\operatorname R^if_i\colon\operatorname K_0(X)\to\operatorname K_0(Y)$

정리하면, 다음과 같은 사상이 존재한다.

:

\begin{matrix}\operatorname K_0(X)&\xrightarrow{\operatorname{ch}}&\operatorname A(X)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q&\xrightarrow{.\operatorname{Td}(X)}&\operatorname A(X)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q\\{\scriptstyle f_!}\downarrow&&\downarrow{\scriptstyle f_*}&&\downarrow{\scriptstyle f_*}\\\operatorname K_0(Y)&\xrightarrow[\operatorname{ch}]{}&\operatorname A(Y)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q&\xrightarrow[.\operatorname{Td}(Y)]{}&\operatorname A(Y)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q\end{matrix}

일반적으로 왼쪽 정사각형은 가환하지 않지만, 큰 직사각형 전체는 가환 그림을 이룬다. 이를 '''그로텐디크-리만-로흐 정리'''라고 한다. 이를 기호로 쓰면 다음과 같다.

:

\operatorname{ch}(f_!(-)).\operatorname{Td}(Y)=f_*(\operatorname{ch}(-).\operatorname{Td}(X))

X

를 매끄러운 준사영 스킴이자 체 위에서 정의된 스킴이라고 하자. 이러한 가정 하에서, 코히어런트 층의 유계 복합체에 대한 그로텐디크 군

K_0(X)

은 유한 계수 벡터 번들의 유계 복합체의 그로텐디크 군과 자연스럽게 동형이다. 이 동형을 사용하여, 체른 특성(체른 클래스의 유리수 조합)을 다음과 같은 함자적 변환으로 간주한다.

:

\mathrm{ch} \colon K_0(X) \to A(X, \Q),

여기서

A_d(X,\Q)

는 차원

d

의

X

에 대한 사이클의 차우 군을 유리 동치에 대해 모듈로 하고, 텐서 곱을 유리수와 취한 것이다.

X

가 복소수 위에서 정의된 경우, 후자의 군은 위상적 코호몰로지 군으로 매핑된다.

:

H^{2\dim(X) - 2d}(X, \Q).

이제 매끄러운 준사영 스킴 사이의 고유 사상

f \colon X \to Y

와

X

위의 층의 유계 복합체

{\mathcal F^\bull}

을 고려하자.

'''그로텐디크-리만-로흐 정리'''는 푸시포워드 사상

:

f_{!} = \sum (-1)^i R^i f_* \colon K_0(X) \to K_0(Y)

(고차 직상의 교대 합)과 푸시포워드

:

f_* \colon A(X) \to A(Y),

를 다음 공식으로 관련시킨다.

:

\mathrm{ch} (f_{!}{\mathcal F}^\bull) \mathrm{td}(Y) = f_* (\mathrm{ch}({\mathcal F}^\bull) \mathrm{td}(X) ).

여기서

\mathrm{td}(X)

는 (

X

의 접다발)의 토드 종수이다. 따라서 이 정리는 위와 같은 의미에서 푸시포워드를 취하는 것과 체른 특성 사이의 교환 법칙 미성립에 대한 정확한 척도를 제공하며, 필요한 보정 인자가

X

와

Y

에만 의존한다는 것을 보여준다. 토드 종수는 함자적이고 완전열에 대해 곱셈적이므로, 그로텐디크-리만-로흐 공식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

\mathrm{ch}(f_{!}{\mathcal F}^\bull) = f_* (\mathrm{ch}({\mathcal F}^\bull) \mathrm{td}(T_f) ),

여기서

T_f

는

f

의 상대 접층으로,

K_0(X)

에서

TX - f^*(TY)

로 정의된다. 예를 들어,

f

가 매끄러운 사상인 경우,

T_f

는 단순히 벡터 번들이며,

f

의 올을 따라가는 접다발이라고 알려져 있다.

4. 역사

알렉산더 그로텐디크는 1956년경 장피에르 세르에게 보낸 편지에서 이 정리를 증명하였다. 그로텐디크는 1957년에 이 정리에 대해 강의하였으나 출판하지는 않았다. 장피에르 세르와 아르망 보렐은 그로텐디크의 증명을 정리하여 1958년에 출판하였다.^[10]

그로텐디크의 접근 방식은 몇 가지 중요한 점을 가진다. 첫째, 그는 이 정리가 다양체에 대한 정리로 이해되던 것을 다양체 간의 사상에 대한 정리로 보아 진술 자체를 변경했다. 올바른 일반화를 찾음으로써 증명은 더 간단해졌고 결론은 더 일반적이 되었다. 요컨대, 그는 어려운 수학적 분석 문제에 강력한 범주론적 접근 방식을 적용했다. 또한, K-군을 도입하여 대수적 K-이론의 길을 열었다.

5. 일반화 및 확장

''A''¹-호모토피 이론을 사용하여 그로텐디크-리만-로흐 정리는 두 매끄러운 스킴 사이의 고유 사상인 경우로 확장되었다.

정리의 일반화는 $\mathrm{ch}(-)\mathrm{td}(X)$ 의 적절한 일반화를 고려하여 비매끄러운 경우로, 컴팩트 지지 코호몰로지를 고려하여 비고유한 경우로 확장할 수 있다.

산술 리만-로흐 정리는 그로텐디크-리만-로흐 정리를 산술 스킴으로 확장한다.

히르체브루흐-리만-로흐 정리는 (본질적으로) ''Y''가 점이고 체가 복소수 체인 특수한 경우이다.

이반 파닌(Ivan Panin)과 알렉산더 스미르노프(Alexander Smirnov)는 방향성을 가진 코호몰로지 이론에 대한 리만-로흐 정리의 버전을 증명했다.^[4] 이는 대수적 코보디즘과 같은 대수적 방향성을 가진 코호몰로지 이론 사이의 곱셈 연산과 관련이 있다. 그로텐디크-리만-로흐 정리는 이 결과의 특수한 경우이며, 이 설정에서 천 특성이 자연스럽게 나타난다.^[5]

6. 예시

히르체브루흐-리만-로흐 정리는 ''Y''가 점이고 체가 복소수 체인 특수한 경우이다.

그로텐디크-리만-로흐 정리는 히르체브루흐-리만-로흐 정리의 상대적 버전으로 해석할 수 있다.

6. 1. 곡선 위의 벡터 다발

매끄러운 사영 곡선

C

위의 랭크

n

및 차수

d

의 벡터 다발

E \to C

(행렬식의 차수로 정의되거나, 동등하게 첫 번째 천 특성류의 차수로 정의됨)는 리만-로흐 정리와 유사한 공식을 가진다. 만약

X = C

와

Y = \{*\}

를 한 점으로 둔다면, 그로텐디크-리만-로흐 공식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\begin{align}\mathrm{ch}(f_{!}E) &= h^0(C,E) - h^1(C,E) \\f_*(\mathrm{ch}(E)\mathrm{td}(X))&= f_*((n + c_1(E))(1 + (1/2)c_1(T_C))) \\&= f_*(n + c_1(E) + (n/2)c_1(T_C)) \\&= f_*(c_1(E) + (n/2)c_1(T_C)) \\&= d + n(1-g);\end{align}

따라서,

:

\chi(C,E) = d + n(1-g).

^[6]

이 공식은 랭크

n

및 차수

d

의 코히어런트 층에도 적용된다.

6. 2. 매끄러운 고유 사상

그로텐디크-리만-로흐 정리는 히르체브루흐-리만-로흐 정리의 상대적 버전으로 해석할 수 있다는 장점이 있다. 예를 들어, 매끄러운 사상

f\colon X \to Y

는 모두 동일 차원(그리고

\Complex

로 기저 변환 시 위상 공간으로 동형)인 올을 갖는다. 이 사실은 매끄러운 고유 공간을 매개변수화하는 모듈라이 공간

\mathcal{M}

을 고려할 때 모듈라이 이론에서 유용하다. 데이비드 머포드는 이 공식을 사용하여 대수 곡선의 모듈라이 공간의 차우 환의 관계를 추론했다.^[7]

6. 2. 1. 곡선의 모듈라이 공간

종수

g

인 곡선(표시된 점 없음)의 모듈 스택

\overline{\mathcal{M}}_g

에 대해,

\overline{\mathcal{C}}_g = \overline{\mathcal{M}}_{g,1}

이고,

\overline{\mathcal{C}}_g \to \overline{\mathcal{M}}_g

는 종수

g

인 곡선과 한 개의 표시된 점을 가진 모듈 스택인 보편 곡선

\pi\colon\overline{\mathcal{C}}_g \to \overline{\mathcal{M}}_g

이다. 여기서 '''타우톨로지 클래스'''를 다음과 같이 정의한다.

:

\begin{align}K_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g} &= c_1(\omega_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g})\\\kappa_l &= \pi_*(K^{l+1}_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g}) \\\mathbb{E} &= \pi_*(\omega_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g}) \\\lambda_l &= c_l(\mathbb{E})\end{align}

여기서

1 \leq l \leq g

이고

\omega_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g}

는 상대적인 이중화 묶음이다.

[C] \in \overline{\mathcal{M}}_g

점에서의

\omega_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g}

의 올은 이중화 묶음

\omega_C

이다.

\lambda_i

와

\kappa_i

사이의 관계를 찾아, 그로텐디크-리만-로흐 정리를 사용하여 매끄러운 자취의 차우 환

A^*(\mathcal{M}_g)

상에서

\kappa_i

의 합으로

\lambda_i

를 나타낼 수 있었다(^[7] 보조정리 6.2).

\overline{\mathcal{M}}_g

가 매끄러운 델리뉴-멈포드 스택이므로, 어떤 유한군

G

에 대해

\overline{\mathcal{M}}_g = [\tilde{\mathcal{M}}_g/G]

를 나타내는 스킴

\tilde{\mathcal{M}}_g \to \overline{\mathcal{M}}_g

에 의한 덮개를 고려했다.

\omega_{\tilde{\mathcal{C}}_g/\tilde{\mathcal{M}}_g}

에 대한 그로텐디크-리만-로흐 정리를 사용하여 다음을 얻었다.

:

\mathrm{ch}(\pi_!(\omega_{\tilde{\mathcal{C}}/\tilde{\mathcal{M}}})) = \pi_*(\mathrm{ch}(\omega_{\tilde{\mathcal{C}}/ \tilde{\mathcal{M}}}) \mathrm{Td}^\vee(\Omega^1_{\tilde{\mathcal{C}}/\tilde{\mathcal{M}}}))

왜냐하면

:

\mathbf{R}^1\pi_!({\omega _}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}}) \cong \mathcal{O}_{\tilde{M}},

이므로, 다음 공식을 얻는다.

:

\mathrm{ch}(\mathbb{E}) = 1 + \pi_*(\text{ch}(\omega_{\tilde{\mathcal{C}}/\tilde{\mathcal{M}}}) \text{Td}^\vee (\Omega^1_{\tilde{\mathcal{C}}/\tilde{\mathcal{M}}})).

\mathrm{ch}(\mathbb{E})

의 계산은 더욱 줄일 수 있다. 짝수 차원

2k

에서,

:

\text{ch}(\mathbb{E})_{2k} = 0.

또한, 차원 1에서

:

\lambda_1 = c_1(\mathbb{E}) = \frac{1}{12}(\kappa_1 + \delta),

여기서

\delta

는 경계에 대한 클래스이다.

g=2

및 매끄러운 자취

\mathcal{M}_g

에서 다음과 같은 관계가 있다.

:

\begin{align}\lambda_1 &= \frac{1}{12}\kappa_1 \\\lambda_2 &= \frac{\lambda_1^2}{2} = \frac{\kappa_1^2}{288}\end{align}

이는

\mathbb{E}

의 체른 지수를 분석하여 추론할 수 있다.

6. 3. 닫힌 매입

폐포 매입

f\colon Y \to X

는 그로텐디크-리만-로흐 정리 공식을 사용하여 설명할 수 있으며, 이 공식이 성립하는 또 다른 자명하지 않은 경우를 보여준다.^[8] 차원이

n

인 매끄러운 다양체

X

와 코드 차원이

k

인 부분 다양체

Y

에 대해, 다음 공식이 성립한다.

:

c_k(\mathcal{O}_Y) = (-1)^{k-1}(k-1)![Y]

다음 짧은 완전열을 사용한다.

:

0 \to \mathcal{I}_Y \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y \to 0

1 = c(\mathcal{O}_X) = c(\mathcal{O}_Y)c(\mathcal{I}_Y)

이므로, 아이디얼 묶음에 대해 다음 공식이 성립한다.

:

c_k(\mathcal{I}_Y) = (-1)^k(k-1)![Y]

7. 응용

그로텐디크-리만-로흐 정리는 표지된 대수 곡선의 모듈 공간과 같은 거친 모듈 공간이 사영 공간에 포함될 수 있음을 증명하는 데 사용될 수 있으며, 따라서 준사영 다양체가 된다.^[9]

7. 1. 모듈라이 공간의 준사영성

그로텐디크-리만-로흐 정리는 거친 표지된 대수 곡선의 모듈 공간

M_{g,n}

과 같은 거친 모듈 공간

M

이 사영 공간에 포함될 수 있음을 증명하는 데 사용될 수 있으며, 따라서 준사영 다양체가 된다.^[9] 이는

M

에서 정식으로 연관된 층을 살펴보고 관련된 선다발의 차수를 연구함으로써 달성될 수 있다. 예를 들어,

M_{g,n}

에는 곡선족

:

\pi\colon C_{g,n} \to M_{g,n}

과 표지된 점에 해당하는 단면

:

s_i\colon M_{g,n} \to C_{g,n}

이 있다. 각 올은 정규 번들

\omega_{C}

을 가지므로, 다음과 같은 관련 선다발이 존재한다.

:

\Lambda_{g,n}(\pi) = \det(\mathbf{R}\pi_*(\omega_{C_{g,n}/M_{g,n}}))

그리고

:

\chi_{g,n}^{(i)} = s_i^*(\omega_{C_{g,n}/M_{g,n}}) .

다음이 밝혀졌다.

:

\Lambda_{g,n}(\pi) \otimes \left(\bigotimes_{i=1}^n \chi_{g,n}^{(i)}\right)

은 충분한 선다발^[9]이므로 거친 모듈 공간

M_{g,n}

은 준사영이다.

참조

_[1] 간행물 Classes de faisceaux et théorème de Riemann–Roch Springer-Verlag 1957
_[2] 논문 Le théorème de Riemann-Roch http://www.numdam.or[...]
_[3] 간행물 SGA 6 Springer-Verlag 1971
_[4] 웹사이트 Push-forwards in oriented cohomology theories of algebraic varieties http://www.math.uiuc[...]
_[5] 서적 Algebraic cobordism http://www.uni-due.d[...] Springer
_[6] 서적 Moduli of curves
_[7] 서적 Arithmetic and Geometry
_[8] 서적 Intersection Theory
_[9] 논문 The projectivity of the moduli space of stable curves, III: The line bundles on $M_{g,n}$ , and a proof of the projectivity of $\bar{M}_{g,n}$ in characteristic 0. https://www.mscand.d[...] 1983-12-01
_[10] 저널 Le théorème de Riemann–Roch (d’après des résultats inédits de A. Grothendieck) http://www.numdam.or[...] 1958

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